AGU Lectures on Representation Theory
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AGU Lectures on Representation Theory
〒252-5258 相模原市 中央区 淵野辺 5-10-1 青山学院大学 理工学部 物理・数理学科
Department of Mathematics and Physics, Faculty of Science and Engineerig, Aoyama Gakuin University
Huchinobe 5-10-1, Chuo-Ku, Sagamihara 252-5258, Japan
研究室 (office):
相模原キャンパス (Sagamihara Campus) L棟 5階 L-513室
tel. 042-759-6269 (研究室/office) fax. 6532 (事務/secretary)
相模原キャンパス: Sagamihara Campus, AGU
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AGU 表現論セミナー・一日研究会：
Date: 2024/03/08 (Friday)
Venue: Room L-416 (Building L, Floor 4)
Program
（英語で行われる講演があります．Some talks are given in English.）
AGU 表現論セミナー・一日研究会：
Workshop on Harmonic Analysis on Lie groups and Representations of Hecke Algebras
Date: 2023/03/20 (Monday)
Venue: Room L-603 (Building L, Floor 6)
Program
（講演は英語で行われます．All talks are given in English.）
About ten years ago, Kable constructed a one-parameter family $\square^{(n)}_s$ ($s \in \mathbb{C}$) of differential operators for $\mathfrak{sl}(n,\mathbb{C})$ with $n \geq 3$. He referred to $\square^{(n)}_s$ as the Heisenberg ultrahyperbolic operator. In the viewpoint of intertwining operators, $\square^{(n)}_s$ can be thought of as an intertwining differential operator between certain parabolically induced representations for $\widetilde{SL}(n,\mathbb{R})$. In this talk we discuss about the classification of the $K$-type formulas of the space of $K$-finite solutions to the differential equation $\square^{(3)}_sf=0$ for $\widetilde{SL}(3,\mathbb{R})$ and so\ me related topics. This is joint work with Bent {\O}rsted.
We review the construction of Dirac operators, cohomology and index for Harish-Chandra modules, as well as associated varieties and associated cycles. Then we show how, for certain Harish-Chandra modules, the polynomial giving the dimension of the Dirac index of the corresponding coherent family can be expressed as an integer linear combination of the multiplicities in the characteristic cycle. This is joint work with S.Mehdi, D.Vogan and R.Zierau.
We consider the restriction of Zuckerman's derived functor modules for symmetric pairs of real reductive groups assuming that it is discretely decomposable in the sense of Kobayashi. By a case-by-case argument, it can be shown that the restriction decomposes as a direct sum of Zuckerman's derived functor modules for the subgroup. In this talk, we would like to discuss how to obtain explicit branching formulas for some examples.
We give the inversion formula and the Plancherel formula for Opdam--Cherednik transform associated with a root system of type $BC$, when the multiplicity parameters are not necessarily nonnegative. This is a non-symmetric generalization of a recent result ( DOI: 10.2969/jmsj/88728872 ) obtained with N.~Shimeno and T.~Honda.
With a given reductive Lie group $G$ there is an associated graded Hecke algebra $\boldsymbol H$. In order to connect representations of $G$ and $\boldsymbol H$ we introduce the notion of radial pairs and give some examples. We also define a functor $\varXi: \operatorname{Rep} \boldsymbol H\to \operatorname{Rep} G$ such that $(\varXi(Y),Y)$ is a radial pair for $Y \in \operatorname{Rep} \boldsymbol H$. When $G$ is in some series of classical groups, Ciubotaru and Trapa constructed a functor $F_{\mathrm{CT}}: \operatorname{Rep} G\to \operatorname{Rep} \boldsymbol H$. In this case, $\varXi$ is a right inverse of $F_{\mathrm{CT}}$ and any radial pair $(X,Y)$ satisfies $F_{\mathrm{CT}}(X)=Y$.
Let $H$ be a real reductive algebraic subgroup of a real reductive algebraic group $G$ and $G_{\mathbb C}$, $H_{\mathbb C}$ their complexifications. It was proved by T. Kobayashi and T. Oshima that the \ multiplicities of irreducible representations of $G$ in the regular representation $C^{\infty}(G/H)$ are uniformly bounded if and only if $G_{\mathbb C}/H_{\mathbb C}$ is spherical, or equivalently, $H_\ {\mathbb C}$ acts on the full flag variety $G_{\mathbb C}/B$ with finitely many orbits, where $B$ is a Borel subgroup of $G_{\mathbb C}$. Thus, there exists a relationship between the uniform boundedne\ ss of the multiplicities in the regular representation on $G/H$ and the finiteness of the number of $H_{\mathbb C}$-orbits on the full flag variety $G_{\mathbb C}/B$. In this talk, we discuss a variant of this relationship for a generalized flag variety $G_{\mathbb C}/Q_{\mathbb C}$, where $Q$ is parabolic subgroup of $G$. More precisely, we prove that the multiplic\ ities in $C^{\infty}(G/H)$ of degenerate principal series representations of $G$ induced from $Q$ are uniformly bounded if $H_{\mathbb C}$ acts on $G_{\mathbb C}/Q_{\mathbb C}$ with finitely many orbits\ using the theory of holonomic ${\mathcal D}$-modules.
2023/02/24 (Friday) AGU 表現論セミナー・研究会:
幾何学と表現論を巡って (Topics on Geometry and Representation Theory)
Date: 2023/02/24 (Friday) Venue: Room L-603 (Building L, Floor 6) Program
ヘッセンバーグ多様体は旗多様体の代数的部分集合であり，表現論や組合せ論などとの関係から近年研究が進んでいる．本講演では，ヘッセンバーグ多様体の基本的な性質の紹介を主軸として，講演者の最近の研究についても解説する．
アフィングラスマン多様体のシューベルト・カルキュラスは 1990 年代後半の Peterson の仕事により注目され，この十数年は Shimozono, Lam, Morse, Lapointe, Schilling らによって主導されて活発に研究されてきた．著しいことはアフィングラスマン多様体のホモロジー群が可換環の構造を持つことである．この環はシューベルト基底を持つので，ホモロジー版のシューベルト・カルキュラスが展開できる．このことが注目される理由の一つとして量子コホモロジー環との深い関係（Peterson 同型）がある．今回の講演ではアフィングラスマン多様体のコホモロジーの方を主に扱う．SL(n) の場合は，Lam, Shimozono, Sp(2n) の場合は Lam, Schilling, Shimozono, SO(n) については Pon によって研究されている．主結果は，Sp(2n) のトーラス同変コホモロジー環に対する対称関数を用いた記述である．Mark Shimozono, 中山勇祐との共同研究に基づく．
グラスマン多様体上の等質ACM束はCostaとMir\'{o}-Roig によって分類された. 最近になり B, C, D型の等方グラスマン多様体上の等質ACM束の分類がDu, FangおよびRen によってなされた. 本講演では, Picard rank oneの等質多様体上の等質ACM束の分類に関する結果を紹介する. これはCostaとMir\'{o}-RoigおよびDu, FangとRenの結果の一般化である. 応用として, Picard rank oneの等質多様体上の既約な等質ACM束は直線束のテンソルを除いて有限個であることを紹介する. さらに, Cayley PlaneやFreudenthal多様体などを含むある特定の等質多様体上の既約な等質ベクトル束ががどのような最高ウェイトを持つ時にACM束になるのかを決定する. [ PDF ]
団代数は「団」と呼ばれる小さな集合と，その集合の間に定まる「変異」という変換による組み合わせ構造をもつ．この構造はさまざまな分野の数学に現れる普遍的な構造であり，団代数が誕生してからのこの約20年の間にさまざまな応用がなされてきた．そのなかでもルート系との結びつきは黎明期である2000年代から盛んに研究されており，その研究の最たるものに「ルート系による有限型団代数の分類」が挙げられる．この定理は「団複体」という団代数の言葉を用いて構成される単体複体が，ルート系から構成される単体複体である「一般化アソシアへドロン」によって実現されることにより証明されている．本講演ではこの団複体と一般化アソシアへドロンの関係について説明した上で，（有限型とは限らない）団複体が一般化アソシアへドロンのさらなる一般化としてみなせることを解説する．
2022/09/26 (Monday) : 青山数理セミナー
フリーズの日本語の本が青山学院大学の西山先生によって書かれ最近出版され, 少しずつ若い人たちの間にもフリーズへの関心が広がりつつあるように思う. フリーズというのは縦横に正の整数がある規則で並んでいるものことであるが, フリーズ(Conway-Coxeter frieze)の魅力は, 多角形の三角形分割という幾何学的対象, 有理数の正則連分数表示や負連分数表示という整数論的対象, クラスター代数など一見関係なさそうな意外な対象が何故めぐり合うのかを教え, それらの各対象で起こっている現象をフリーズを通して見ると, 数の並びという親しみやすい言葉に言い換えられることが, ひとつにはあると思う. 今回ここでお話しするのは,マルコフ３数という２次無理数の有理数近似に関係する整数の３つ組へのフリーズの応用と,縦の糸と横の糸で織りなされる有理絡み目の構造をフリーズを使って述べる（この部分は和久井道久氏との共同研究)ことである. この縦の数と横の数の織りなすフリーズが皆さんの知的好奇心を暖めうるかもしれない, ことを期待する.
2018/01/19 (Friday) : AGU 新春セミナー
Beilinson-Bernstein は完備旗多様体上のD加群に対するある種の 積分変換(絡関手)を用いて Casselman の部分加群定理の証明を与 えた。この講演では一般旗多様体上のD加群に対して絡関手を定義 し、それらが圏同値を与えることおよび大域切断をとることとの 整合性について説明する。
本講演では，2つのリー群 $G\supset G_1$ と， その正則離散系列表現 $\mathcal{H}$, $\mathcal{H}_1$ に対し， $\mathcal{H}_1$ から $\mathcal{H}|_{G_1}$ への $G_1$-絡作用素を 無限階微分作用素として構成した結果を話す． その応用として，絡作用素の極に当たるパラメータについて $\mathcal{H}_1$ の部分商からの写像が作れることも話す．
Let $ G $ be the double covering of $ SL(3,\mathbb{R}) $. In a preceding work with B. Orsted (in preparation), we realize genuine and non-genuine small representations of $ G $ with infinitesimal character $ \rho/2 $ in the solution space to an intertwining differential operator. For the construction the Gauss hypergeometric function $ {}_2F_1 $ plays a key role. In this talk we make use of the same technique to construct some representations of $ SL(3,\mathbb{R}) $ with infinitesimal character rho. This is a joint work with B. Orsted.
2017/08/30 (Wednesday)
シューベルト・カルキュラスというのは，グラスマン多様体における部分多様体の交叉を詳しく調べることだ，と簡単に言ってみよう．このような問題はコホモロジー環を用いて定式化されるのが自然（集中講義のテーマ）である．コホモロジー環よりもずっと即物的に定義される環であるK理論においてシューベルト・カルキュラスを考えてみようか．それは交叉の様子を，より高い余次元まで調べることを意味するはずである．．．この着想が実りあるものであることを強く印象付けた Anders Buch の（たった？）15年前の結果を紹介し，それ以降の展開を概観したい．時間が許せば，量子K理論に関する最近の進展についても述べたい．
2017/07/31 (Monday)
NA
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2016/12/16 (Friday)
山辺作用素の解空間へ群 $ O(p,q) $ の 極小表現を構成した小林--Ørsted氏の2003年の研究に代表されるように 主系列表現間の絡微分作用素の解空間に small representation または unipotent representation と呼ばれるサイズの小さな無限次元表現 が構成できることが知られている。
また、これまでのところ、 用いられる絡微分作用素はKable氏の近年の研究を除くと、 少なくともほとんどの場合において、 山辺作用素などのような よく知られた微分作用素ではないかと思われる。
本講演では $ SL(3, \mathbb{R}) $ の普遍被覆群の場合を具体例にとり、 そのような無限次元表現の構成を絡微分作用素の構成から 述べていく。
なお本講演は Ørsted氏 (Aarhus, Denmark) との共同研究に基づく。
2015/05/09 (Saturday)
2010/07/30 (Friday)
15:00 -- 16:00, Room L-506
NA
2009/10/20 (Tuesday)
15:00 -- 16:30, Room D-101
In a first part we shall present the results of Vinberg and Yakimowa on the classification of Gelfand pairs $ (G,K) $ where $ G $ is a real Lie group and K a compact Lie subgroup. In the second part we shall consider the case where $ K $ is non compact, explaining the old results of Thomas, Faraut, Van Dijk and then introducing the current work on the subject.
2009/10/22 (Thursday)
10:00 -- 11:00, Room D-111
11:30 -- 12:30, Room D-111
The notion of Jacquet modules was introduced by Casselman. In this talk we introduce the Bruhat filtration of this generalized Jacquet modules of parabolic induction and investigate this filtration. We also study the dimension of the Whittaker vectors of parabolic induction.
14:30 -- 15:30, Room D-101
We study discrete series Whittaker functions on Spin(2n, 2). We show that they are characterized as eigenfunctions of Horn's hypergeometric equations of orders 2 and N (>=2), with some compatibility conditions. Also obtained are the Mellin-Barnes type integral formulas of the Whittaker functions associated with minimal $K$-type vectors.
16:00 -- 17:30, Room D-101
Starting with the $ (GL(n+1),GL(n) ) $ case we shall present the current strategy to find Gelfand pairs in particular in the case of symmetric spaces.
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