dominant integral highest weight を持つ既約 highest weight 表現の指標公式
記号 : 以下の記号は各場合によって微妙に変化するので注意。
| $ P_+ $ | dominant integral highest weight $ \ni \lambda $ |
| $ L(\lambda) $ | $ \lambda $ を highest weight に持つ既約表現 |
| $ \Delta_+ $ | 正のルート全体 |
| $ W $ | Weyl 群 |
| $ \rho $ | $ \rho(\alpha^{\vee}) = 1 (∀単純ルート \alpha) $ |
有限次元単純 Lie 環 : Weyl の指標公式
発見者 : Weyl : 文献は?
公式 :
\[ \character L(\lambda) = \sum_{w \in W} (-1)^{l(w)} \exp(w(\lambda + \rho) - \rho) / \prod_{\alpha \in \Delta^+} (1 - \exp(- \alpha)) \]
便利な参考文献 : あまりにもたくさんある?
Kac-Moody 代数 : Weyl-Kac の指標公式
発見者 :
symmetirzable case: Kac (1974)
arbitrary Kac-Moody: Kumar (1987) and Mathieu (1986 - 88)
注意 : 一般の Kac-Moody については $ L(\lambda) $ は universal な integrable highest weight 表現というだけであってその既約性は open である(少なくとも Kumar, Mathieu の論文では)。 $ L(\lambda) $ は一般の場合には Kac の教科書 の (10.4.6) 式によって定義される。
公式 :
$ mult(\alpha) $ : ルートの重複度 (1 とは限らない)
$ W $ : 実ルートに関する鏡映から生成される Weyl 群 (一般に無限 Coxeter 群)
\[ \character L(\lambda) = \sum_{w \in W} (-1)^{l(w)} \exp(w(\lambda + \rho) - \rho) / \prod_{\alpha \in \Delta^+} (1 - \exp(- \alpha))^{mult(\alpha)} \]
便利な参考文献 : Kac の教科書 \S 10.4, Theorem 10.4 : ただし symmetrizable case
関連事項 : affine Kac-Moody 代数の時にはルートの重複度はよくわかっている。しかし不定符号の場合のルートの重複度についてはよくわかっていない（? Kac の本(\S 11.15)の受け売り。 S.-J. Kang の仕事あり)。
generalized Kac-Moody 代数 (symmetrizable case) : Weyl-Kac-Borcherds の指標公式
発見者 :
Borcherds (1988)
公式 : ルートの重複度とワイル群については Kac-Moody と同じ。
| $ T_{\lambda} = \{ F \} $ | $ F $ は simple imaginary roots の部分集合で（重複度も考慮する）、$ F $ に属するどの二つのルートも互いに直交し、また $ \lambda $ とも直交するもの。自然に空集合を含むと考える。また直交性は $ W $-不変な双線型形式によるもの。 |
| $ S_{\lambda} = \sum \{ s(F) \} $ | $ s(F) $ は $ F \in T_{\lambda} $ の元の総和を表す。 |
\[ \character L(\lambda) = \sum_{w \in W} (-1)^{l(w)} w(S_{\lambda}) / \exp(\rho) \prod_{\alpha \in \Delta^+} (1 - \exp(- \alpha))^{mult(\alpha)} \]
または
\[ \character L(\lambda) = \sum_{F \in T_{\lambda}} (-1)^{\# F} \sum_{w \in W} (-1)^{l(w)} \exp(w(\lambda + s(F) + \rho) - \rho)
/ \prod_{\alpha \in \Delta^+} (1 - \exp(- \alpha))^{mult(\alpha)} \]
便利な参考文献 : Kac の教科書 \S 11.13, Theorem 11.13.3
関連事項 : generalized Kac-Moody 代数についてもルートの重複度はわかっていない。しかし Borcherds (1990) は Monster Lie 代数 と呼ばれる generalized Kac-Moody 代数についてはその重複度を発見している。
疑問点 : 指標公式を書き下すのにはワイル群が小さ過ぎるのだろう。ワイル群の拡大で適当な群（？）を持ってきてもっとシンプルな形にできないだろうか？
Cartan 型の Lie 代数 $ W_n $ : Rudakov の指標公式（？西山の勝手な命名） : （未完成）
発見者 :
Rudakov (1974)
公式 : 記号
If $ \lambda $ is not a highest weight of fundamental representations of $ \lie{gl}_n $, then character of $ \pi_{\lambda} $ is given by
\[ \character \pi_{\lambda} = \frac{\sum_{w \in W} \sgn(w) \exp(w(\lambda + \rho) - \rho)}
{\prod_{\alpha \in \Delta^-} (1 - \exp \alpha)}
= \frac{\character \xi_{\lambda}}{\prod_{1 \leq i \leq n} (1 - \exp(\varepsilon_i))} , \]
If $ \lambda $ is a highest weight of one of fundamental representations of $ \lie{gl}_n $, $ \lambda = (1, 1, \cdots, 1, 0, \cdots , 0) = (1^p) $. In this case, character of $ \pi_{(1^p)} $ is given by
\[ \character \pi_{(1^p)} = \frac{\sum_{F \in \{ \varepsilon_1, \cdots, \varepsilon_n \} , |F| \geq p }
(-1)^{|F| - p} \exp(s(F)) }
{\prod_{1 \leq i \leq n} (1 - \exp(\varepsilon_i))}
= \frac{\sum_{k = p}^n
(-1)^{k - p} \character \xi_{(1^k)} }
{\prod_{1 \leq i \leq n} (1 - \exp(\varepsilon_i))} , \]
where $ |F| $ denotes the cardinality of a finite set $ F $, and $ s(F) = \sum_{\alpha \in F} \alpha $.
便利な参考文献 : Rudakov (1974) Cor 13.9 参照 （論文には指標公式は書いてないが明らかにわかる）。