問題 1.

(1) 次の逐次積分を計算してください。

∫_{0}^{1} x_{r}dx_{r} ∫_{0}^{x_{r}} dx_{r−1} ⋯ ∫_{0}^{x_{3}} dx_{2} ∫_{0}^{x_{2}} dx_{1}

(2) 関数 M_{r} を

M_{r}(x_{1}, ⋯, x_{n}) = (x_{1}, ⋯, x_{n} を小さい順に並べた時の r 番目の座標 )

と決めます。例えば、 M_{1}(x) = min{x_{1}, ⋯, x_{n}}、 M_{n}(x) = max{x_{1}, ⋯, x_{n}} です。このとき、次の等式を示して下さい。

∫_{0}^{1} ⋯ ∫_{0}^{1} M_{r}(x_{1}, ⋯, x_{n})dx_{1} ⋯ dx_{n} = \frac{r}{n + 1}

[ヒント : M_{r}(x_{1}, ⋯, x_{n}) は x_{1}, ⋯, x_{n} に関して対称ですから、積分領域を 0 ≤ x_{1} ≤ x_{2} ≤ ⋯ ≤ x_{n} ≤ 1 に限って積分し、後で n! 倍しても構いません。 ]

問題 2. 次の積分を以下の小問をヒントにして計算してください。

∫_{0}^{∞} ∫_{0}^{∞} | log x − log y|e^{−(x+y)}dxdy = 2 log 2

(1) 被積分関数は x, y についての対称式であることに注意して、積分領域を 0 ≤ x ≤ y ≤ ∞ に限ってもよいことを示し、これを逐次積分で表してください。

(2) lim_{x→∞} e^{−x} ∫_{0}^{x} log ye^{−y}dy = 0 であることを示してください。

(3) 部分積分を実行することにより、次の等式を示してください。

∫_{0}^{∞} e^{−x} ∫_{0}^{x} log ye^{−y}dydx = ∫_{0}^{∞} e^{−2x} log xdx = ∫_{0}^{∞} e^{−t} \frac{log t − log 2}{2}dt

問題 3. D = {(x, y) ∈ ℝ^{2} | 0 ≤ x ≤ y ≤ π} とするとき、次の積分を以下の小問をヒントにして計算してください。

∫ ∫_{D} log | sin(x − y)|dxdy = −\frac{π^{2}}{2} log 2

(1) 被積分関数は x, y についての対称式であること、また sin(x + π) = − sin x であることから、次の積分が計算できれば十分であることを示してください。

I = ∫_{0}^{2π} ∫_{0}^{2π} log | sin(x − y)|dxdy = ∫_{0}^{2π} ∫_{0}^{2π} log | cos(x − y)|dxdy

(2) 次の等式を示してください。

∫_{0}^{2π} ∫_{0}^{2π} log | sin(x − y)|dxdy + ∫_{0}^{2π} ∫_{0}^{2π} log | cos(x − y)|dxdy

= ∫_{0}^{2π} ∫_{0}^{2π} log | sin 2(x − y)|dxdy − (2π)^{2} log 2

[ヒント : 倍角公式]

(3) 前小問を用いて、問題の積分値 I に関する方程式を求めてください。この方程式を解けば積分値が求まります。