（弱い意味の）保型関数と保型形式と尖点形式

1. 一番原始的な上半平面の場合。保型性は数論的な離散部分群の作用に関する相対不変性(?)を意味する。これは微分形式の巾乗を掛けた時の不変性といってもよい。離散系列表現（あるいはそれを含む主系列表現）の元と思うならば、単に離散群の作用によって不変な関数である。（multiplier は表現の定義によって出てきてウェイトは離散系列表現のパラメータを与える）

2. 弱い意味の保型関数は上半平面で有理型の関数。保型関数は無限遠点まで込めて有理型。保型形式は無限遠点まで込めて上半平面で正則。尖点形式はその上に無限遠点で消えるもの。

3. 例） Eisenstein 級数。 lattice の元をウェイト乗だけして（逆数をとって？）総和したもの。ちなみに lattice が上半平面の点に対応する。

   • 特にウェイトが4、6の Eisenstein 級数は重要でこの二つを楕円方程式の判別式に代入することで重さ12の尖点形式が構成できてこれは最小のウェイトを持つ尖点形式である。 （要するに無限遠点での値をうまく相殺する）
   • この二つのEisenstein 級数は保型形式の次数つき環の生成元であり、代数的に独立。つまり保型形式のなす代数は二変数多項式環と同型。
   • もう一つ簡単で興味深い事実は Eisenstein 級数の無限遠点での値が Riemann ゼータの偶数点での値になっていること。

4. 同じウェイトを持つ保型関数の商は lattice 上の関数を定める。これは種数一のリーマン面のモデュライ上の関数といってもよいから、要するに Riemann 球面上の一変数関数体の元である。従って $ j $ 関数の有理式として表すことができる。

5. Weierstrass のペー関数：この関数は lattice を決めるごとに決まる楕円関数だが、楕円関数として冪級数展開するとその係数が Eisenstein 級数を与える。つまりペー関数は Eisenstein 級数の母関数である。 ペー関数の構成において現れる「繰り込み」の操作は面白い。中心拡大と関係する？